Уроженец села Заворонежское Староюрьевского района, юноша из большой крестьянской семьи Алексей Зверев окончил Белорусскую сельскохозяйственную академию по специальности учёный-агроном и уехал работать в Новосибирскую область, где учительствовала его невеста, а потом и верная спутница всей жизни – Клавдия Никитична.
За 13 лет в Сибири Зверев сделал стремительную карьеру: от должности главного агронома машинно-тракторной станции до председателя Новосибирского облисполкома.
Через девять лет успешной работы на этой ответственной должности Зверева пригласили в Москву возглавить Министерство лесного хозяйства (1973-1984 годы). В апреле 1984 года постановлением Верховного Совета СССР он был назначен Председателем Государственного Комитета СССР по лесному хозяйству.
Алексей Ильич никогда не терял связи с малой родиной. В круговороте государственных дел находил время и возможности для поддержки родного района.
Уйдя на пенсию в 1989 году, Зверев продолжал работать в центральном аппарате Рослесхоза в качестве консультанта, советника.
В постсоветское время его огромный опыт работы, энциклопедические знания помогли в создании Федерального «Российского музея леса», который он возглавлял долгое время. В целом более тридцати лет своей жизни Зверев посвятил лесному хозяйству Российской Федерации.
Алексей Зверев награждён орденом В.И. Ленина, тремя орденами Трудового Красного Знамени, орденом Знак Почёта, медалями «За освоение целинных и залежных земель», «За доблестный труд». Носил звания «Заслуженный лесовод Российской Федерации» и «Почётный работник леса».