Родился будущий Герой Советского Союза 4 февраля 1920 года в селе Новиково Староюрьевского района, в крестьянской семье. Романтика небес привлекала мальчика с юных лет. Мечтая стать таким, как Валерий Чкалов, в свободное время школьник спешил на занятия в аэроклуб. Повзрослев, детской мечте не изменил, и перед самой войной, в 1939 году, прошёл обучение во 2-й Краснознамённой военной авиационной школе лётчиков имени В.П.Чкалова в Борисоглебске Воронежской области.
Война застала Алексея на полевом аэродроме под Киевом. Там его полк нёс службу по прикрытию города и стратегических мостов через Днепр. Над Киевом Балясников сбил свой первый немецкий самолёт. Затем воевал в составе 181-го, 254-го и 255-го истребительных авиаполков. Сражался на Волге, на Курской дуге. Участвовал в воздушных боях Корсунь-Шевченковской операции. Трижды был ранен.
21 апреля 1943 года младший лейтенант Балясников, командуя четвёркой самолётов Ла-5, вступил в бой с шестью истребителями врага, сбил один из них и вынудил фашистов покинуть поле боя. В тот день под его руководством в семи групповых воздушных боях было сбито 18 вражеских самолётов.
Из наградного листа: «Товарищ Балясников… в боях с немецкими захватчиками проявил себя подлинным патриотом и героическим защитником Социалистической Родины. Смелый, отважный, воздушный боец, мастерски владеющий грозной боевой машиной — самолётом-истребителем. На боевые задания всегда идёт с большим желанием и рвением, выполняя их только отлично. Умело применяя свой богатый практический опыт, обладая высоким мастерством и находчивостью в ведении воздушного боя с истребителями и бомбардировщиками противника, товарищ Балясников всегда навязывает противнику свою волю и, несмотря на частое превосходство сил противника, добивается победы».
Талант стратега, умеющего «угадывать» намерения врага, помноженный на беспримерную храбрость, снискали Балясникову славу по всей стране. Его называли одним из асов Сталина. Имя староюрьевца значится в одноимённой книге военного историка Михаила Быкова (12+).
13 октября 1943 года при форсировании Днепра по указанию генерал-лейтенанта Сергея Александровича Худякова капитан Балясников совершил пять разведывательных вылетов и предоставил командованию фронта ценные сведения о расположении немцев.
Дивизию, где служил староюрьевский ас, перед штурмом Днепра и взятием Киева посещал Маршал Советского Союза Георгий Жуков. Он поставил перед бойцами новую боевую задачу — найти замаскированные вражеские танки. Выполняя её в паре с другим самолётом, Алексей Балясников встретил восемь вражеских машин. Это не помешало лётчику отлично справиться с заданием в тылу противника. За смелые разведывательные полёты он был удостоен благодарности от Георгия Константиновича.
24 октября 1943 года четвёрка наших самолётов во главе со старшим лейтенантом Балясниковым выполняла задание недалеко от Киева. В воздухе лётчики насчитали 37 немецких бомбардировщиков, шедших на наши войска. Несмотря на огромное превосходство, группа Балясникова дерзко врезалась в строй противника и заставила его сбросить бомбы на своих. Наша группа вернулась на базу без потерь.
Спустя два дня Балясников также в группе из четырёх самолётов Ла-5 вступил в бой с 14-ю бомбардировщиками, сопровождаемых шестью истребителями. После короткой воздушной схватки сбил немецкий самолёт. Но и его истребитель был подбит, а сам он получил ранение и выпрыгнул из горящего самолёта с парашютом. У пилота сильно обгорели руки, пострадало лицо, но уже через три дня Балясников вернулся в строй.
Из наградного листа: Воздушные бои, проведённые истребителями под командованием Балясникова, говорят о его командирской зрелости и умении организовывать бой так, чтобы выйти из него победителем. Своим личным примером и отвагой товарищ Балясников учит молодой лётный состав дерзости и бесстрашию в воздушном бою.
В 1943 году за отличную боевую работу товарищ Балясников был удостоен трёх высших Правительственных наград: двух орденов Красного Знамени и ордена Отечественной войны I степени. Среди других наград — ордена Ленина, Отечественной войны I степени, медали «Золотая Звезда», «За победу над Германией», «За оборону Сталинграда» и многие другие.
К концу войны гвардии капитан Алексей Иванович Балясников совершил 620 боевых вылетов (из них 507 — на разведку), провёл 148 воздушных боёв, в которых сбил 28 самолётов противника лично и восемь — в группе с товарищами. 23 февраля 1945 года отважному лётчику присвоено звание Героя Советского Союза.
Войну герой завершил в освобождённой Праге, с декабря 1945 года — в запасе. Послевоенные его годы прошли на Украине. Работал лётчиком, замдиректора в лесотехническом техникуме.
В 70-х в Киеве на киностудии имени А. Довженко актёр и режиссёр Леонид Быков снимал свой знаменитый фильм «В бой идут одни старики». В основу одного из эпизодов картины, по словам внучки Алексея Балясникова, легла реальная история, героем которой был её дед.
Ещё внучка героя вспоминает, что её дедушка часто переписывался с писателем Борисом Полевым, и на конвертах они друг другу рисовали маленькие самолётики.
Староюрьевский герой умер 4 марта 1986 года, похоронен в Киеве. О подвигах защитника на его малой родине рассказывают экспозиции в музейной комнате и зале Боевой славы Новоюрьевской школы. Имя Алексея Балясникова выбито на мемориальных досках в селе, где прошло его детство. А также на обелиске с именами Героев Советского Союза и полных кавалеров ордена Славы в Тамбове.
4 февраля 2025 года исполнилось 105 лет со дня рождения отважного лётчика. В этот день староюрьевцы вспоминали выдающегося земляка, его военные подвиги и несли цветы к табличке, увековечившей память Героя.